J’ai découvert la signification de l’expression sous l’égide de lors d’une de mes lectures sur les monstres.
Approchons d’abord le terme égide, emprunté du latin aegis, aegidis, « bouclier de Zeus, d’Athéna ». Au sens figuré, il s’agit d’une « défense, d’une protection ». L’expression signifie alors « sous la protection de ». Dérivé du grec, αιξ, αιγοσ, le terme égide signifie « chèvre ».
J’ai relevé deux versions proches de la mythologie, voire qui se juxtaposent ou se complètent.
Zeus a été nourri du lait de la chèvre Amalthée. A la mort de cette chèvre, Zeus utilisa la peau de chèvre (égide) comme bouclier.
A vérifier : la tête de la Gorgone Méduse a été fixée sur le bouclier par Pallas.
Pallas était amie avec Athéna, avec qui elle se battit lors d’un entrainement. Athéna la tua involontairement. Lors de ce combat, pour protéger Athéna, Zeus était intervenu et avait interposé son égide, sur laquelle, vraisemblablement, était fixée la tête de la Gorgone Méduse, que Pallas regarda et qui la pétrifia. Elle tomba alors à terre.
Je n’ai pu corroborer, hélas, cette version qu’à partir de la dernière source sous-citée.
Pour aller plus loin :
Paronomases et hyperbates - Carnet littéraire 